Question

数学基本不等式题

某食品厂定期购买面粉，已知该面粉厂每天需用面粉6吨，每吨面粉价格1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元
求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

Answer 1

解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.
由题意知，面粉的保管等其他费用为
3[6x+6(x-1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1)
设平均每天所支付的总费用为y1元，
y1=1/x[9x(x+1)+900]+6×1800
=900/x+9x+10809≥2√(900/x×9x)+10809=10989
当且仅当9x=900/x,即x=10时，取等号。
即该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉 (6×35=210) 设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2=1/x[9x(x+1)+900]+6×1800×0.90=900/x+9x+9729(x≥35)
令f(x)=x+100/x(x≥35),x2>x1≥35,
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(100-x1x2)/x1x2<0(中间过程省略)
即f(x)在x≥35时为增函数，
即当x=35时，f(x)有最小值，此时y2<10989,
即该厂应接受此优惠条件。