Question

请数学高手解释：定积分的性质-性质5 如果在区间〔a.b〕上，f(x)≥0,则....

定积分的性质-性质5 如果在区间〔a.b〕上，f(x)≥0,则 ∫（上b下a）f(x)dx≥0
由这个性质得出推论： 推论1、如果在区间〔a.b〕上f(x)≤g(x) 则
∫（上b下a）f(x)dx≤ ∫（上b下a）g(x)dx
推论2、 ∣ ∫（上b下a）f(x)dx∣≤ ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx
我觉得左右两边总是相等，什么情况下左边小于右边？

Answer 1

其实这个可以用定积分的几何意义来解释，当f(x)>0，定积分的结果为[a,b]区间内图像与x轴围成的面积；当f(x)<0，定积分的结果为[a,b]区间内图像与x轴围成的面积取负值。根据积分区间可加性，对一个函数f(x)在[a,b]区间上既可以取到正值，又可以取到负值，那定积分的结果为x轴上方的面积减去x轴下方的面积。如果对函数f(x)加上绝对值就不一样了，|f(x)|一定都是大于等于零的，所以面积为x轴上方所围成的面积了。
可以举个例子，你画图试一试，对sin x在[0到2派]区间求定积分。两边就不相等，左边小于右边。

Answer 2

这个不好说，例如g(x)= -10x+100 f(x)=-5x+50 a=5 b=8 自己验证
对于书上的结论要在课本里找例子最好，高数一定要学好，这在考研中占50%以上分数

Answer 3

应该相等