Question

函数f(x)=x/(x^2+4)值域为[-1/4,1/4]

函数g(x)满足1.x∈[0,3)时，g(x)=f(x) 2.g(x+3)=g(x)*lnm(m≠1)，
若函数g(x)在x∈[0,+∞)上的值域是闭区间,试探求m的取值范围

Answer 1

1） 0<=x<=3
g(x)=x/(x^2+4)
gmax=g(2)=1/4
gmin=g(0)=0
所以当 3n <=x<=3n+3(n>=0,n为整数）时，
g（x)=(x-3n)(lnm)^n/((x-3n)^2+4)
分别在x=3n+2和x=3n处取得最值为(lnm)^n/4与0

讨论
（a) 当|lnm|>1时，g(6n+2)=(lnm)^2n/4
的值趋向无穷大，从而g(x)的值域不为闭区间

（b）当=lnm=1时，由g(x+3)=g(x)得g(x)是3为周期的函数
从而g（x)的值域为闭区间【0,1/4】

（d）当=lnm=-1时，由g(x+3)=-g(x)得
g(x+6)=g(x) 得g(x)是以6为周期的函数
且当3<=x<6时 g(x)=3-x/[(x-3)^2+4]值域为[-1/4,0],
从而g(x)的值域为闭区间[-1/4,1/4]
(d)当 0<lnm<1时，由g(3n+2)=(lnm)^n/4<1/4
得g(x)的值域为闭区间【0,1/4】

(e) 当 -1<lnm<0时，由lnm/4<=g(3n+2)=(lnm)^n/4<=1/4
得g(x)的值域为闭区间【-lnm/4,1/4】

综上所述：
当 1/e<=m<1和 1 <m<=e
即 0<lnm<=1 或 -1<=lnm<0时
g(x)的值域为闭区间