Question

如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过点C作AD的垂线，AB于点E，交AD于点F

请说明∠ADC=∠BDE的理由

Answer 1

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵中点D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
又∵∠APH=∠CEH，
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．

Answer 2

过点B作BG⊥BC交CE的延长线于G，因为三角形ACD≌三角形ABG，所以∠ADC=∠G，BG=CD
因为D为BC中点，所以BD=CD=BG，因此三角形BDE≌三角形BGE，所以∠G=∠BDE
因此∠ADC=∠BDE