Question

用行列式展开定理求解一道行列式题目：如下图所示

刚才我左边用行列式展开，但所求结果不等于右边，所以希望解答时能写出详细的思路和步骤

Answer 1

A11 = a0a1a2...an
A21 = (-1)^(2+1)
1 1 ... 1
0 a2 ... 0
....
= - a2a3...an (缺a1)
A31 = (-1)^(3+1)*
1 1 1...1
a1 0 0...0
0 0 a3 ... 0
... ... ..........
交换1,2列即为上三角
= - a1 a3.... an (缺a2)

之后同理可得.
方法就是这样.

追问

希望你能帮助我解决一下3个问题：

1.按这样做做到A41就不好处理，A41进行几次行列调换也做不来这个貌似没有什么规律
2.按这样结果貌似也做不出右边的等式？
3.我原来是第一列除a22化成0后再展开，但也化不出右边的结果，痛苦

追答

A41 = (-1)^(4+1)*
1 1 1 ... 1
a1 0 0 ... 0
0 a2 0 ... 0
0 0 0 a4 ... 0
.. ... ...
0 0 0 ... an

第3列依次与第2,1列交换即得上三角
= - a1a2a4...an (缺a3)

这样是对的, 等式右边你把和号打开就知道了
不过, 我说过, 用展开定理是给自己找麻烦 嘻嘻.....

追问

1.ai1如何用行列式表示，如何规范书写这道题的解题步骤

2.我原来是第一列除a22化成0后再展开，这样按道理应该可以？应该简单点？你可以写写这种解答方法？但也化不出右边的结果，痛苦
若能解答这2个问题，另追加20分

追答

为了看清楚, 多写几行列:
a0 1 1 ... 1 1 1 ... 1
1 a1 0 ... 0 0 0 ... 0
1 0 a2 ... 0 0 0 ... 0
... ... ...
1 0 0 ...ai-2 0 0 ... 0
1 0 0 ... 0 ai-1 0 ... 0
1 0 0 ... 0 0 ai ... 0
... ... ...
1 0 0 ... 0 0 0 ... an

A11 = a1a2...an
i>1时
Ai1 = (-1)^(i+1)*
1 1 ... 1 1 1 ... 1
a1 0 ... 0 0 0 ... 0
0 a2 ... 0 0 0 ... 0
... ... ...
0 0 ...ai-2 0 0 ... 0
0 0 ... 0 0 ai ... 0
... ... ...
0 0 ... 0 0 0 ... an

将第i-1列依次与i-2,i-3,...,2,1列交换, 共交换 i-2 次得
1 1 1 ... 1 1 ... 1
0 a1 0 ... 0 0 ... 0
0 0 a2 ... 0 0 ... 0
... ... ...
0 0 0 ...ai-2 0 ... 0
0 0 0 ... 0 ai ... 0
... ... ...
0 0 0 ... 0 0 ... an

= (-1)^(i+1)*(-1)^(i-2)*a1a2...a(i-2)ai...an
= -a1a2...a(i-2)ai...an (缺ai-1)

由展开定理, 左行列式按第1列展开得
左式 = a0A11+A21+A31+...+An1
= a0a1a2...an - a2a3...an - a1a3...an -...-a1a2...an-1
= a1a2...an(a0-∑1/ai)

这么简单的行列式非得用展开定理, 晕, 累死人