Question

已知A(4,4),B(0,-4)，点P在圆x^2+y^2=1上，若AP^2+BP^2取最小值，则点P坐标为？

Answer 1

连结AB，取AB中点Q(2，0)，连结PQ并延长到M，使得PQ=QM，则四边形APBM为平行四边形，而平行四边形有如下性质：对角线平方和等于四边平方和，则得：AB²＋PM²=2(PA²＋PB²)，即PA²＋PB²=(1/2)[AB²＋PM²]=(1/2)[72＋4(PQ)²]，至此，好了，那就只要求PQ最小就可以了。此题就是：圆外一点Q(2，0)与圆x²＋y²=1上的点的最小距离了，则此点就是圆心与点Q联连线与圆的最近的点。P(1，0)。

Answer 2

设P的坐标为（cosp,sinp）
则AP^2+BP^2=[（4-cosp）^2+（4-sinp）^2]+[cosp^2+（-4-sinp）^2]
=50-8cosp
当cosp有最大值1时，AP^2+BP^2取最小值42
此时sinp=0,
所以P（1,0）