Question

如图已知二次函数y=-1/8x^2+3/2x+8的图像与y轴交于点A，与x轴交于B.C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC

（1）求点A、B、C的坐标
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为y轴右方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个？

Answer 1

（1）坐标分别是：A（0，8），B（-4，0），C（16，0），D（6，0）；
（2）显然D点在O、C之间，肯定可以找到E使△EDC为直角三角形。
一个是直线x=6与AC的交点，坐标是(6,5)；
另一个是过D做垂直于AC的直线，AC所在直线方程为y=-1/2*x+8，DE的方程则为y=2x-12，交点E的坐标为(8,4)。
（3）三角形面积大小取决于P点到AC的距离，根据抛物线形状，x>16时，x越大，P与AC的距离越大，那么如果有且只有2个P点的话，就是找抛物线的AC段上距离线段AC最远的点，就是找抛物线的切线，与AC平行。
对函数求导，y'=-1/4*x+3/2=-1/2，得x=8,P点坐标是(8,12)，P与AC的距离是16/5*sqrt(5)，此时三角形的面积S=64。