Question

一道关于勾股定理的数学题

已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC边上的点，且∠EAF=45°，求证：BE²+CF²=EF²

Answer 1

解：BE、CF、EF之间的数量关系为：EF2=BE2+FC2．
理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，
连FG，如图，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG2=FC2+CG2=BE2+FC2；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
而AG=AE，AF公共，
∴△AGF≌△AEF，
∴FG=EF，
∴EF2=BE2+FC2．

Answer 2

过A作直线AG使AG=AB，且角EAG等于角BAE（这个可以做到），连接BG、CG
可证三角形BAE与三角形GAE全等 、三角形CAF与三角形GAF全等
然后通过角度可证角G为90度