Question

怎么证明这条微积分公式？

Answer 1

话说，你怎么发了2遍啊？在英语区也有，给你解了，两个都给分好不？
题目提示做积分变换u=π-x, 所以，就以x=π-u代入
∫ （0<x<π）x f(sin x) dx =∫ (0<π-u<π）（π-u） f[sin (π-u)] d(π-u)
=-∫ (-π<u<0）（π-u） f(sin u) du = -π∫ (-π<u<0)f(sin u) du + ∫ (-π<u<0) uf(sin u) du
=π∫ (0<u<π)f(sin u) du - ∫ (0<u<π) uf(sin u) du

积分变量用u或者x其实不改变积分结果，所以
∫ （0<x<π）x f(sin x) dx = ∫ (0<u<π) uf(sin u) du
π∫ (0<u<π)f(sin u) du = π∫ (0<x<π)f(sin x) dx
这样，就变成
∫ （0<x<π）x f(sin x) dx = π∫ (0<x<π)f(sin x) dx - ∫ （0<x<π）x f(sin x) dx
即 2 ∫ （0<x<π）x f(sin x) dx = π∫ (0<x<π)f(sin x) dx
最后 ∫ （0<x<π）x f(sin x) dx = (π/2) ∫ (0<x<π)f(sin x) dx