Question

高一向量问题。已知向量a=(cosα,sinα)，向量b=（cosβ，sinβ），向量c=（cosγ，sinγ）

已知向量a=(cosα,sinα)，向量b=（cosβ，sinβ），向量c=（cosγ，sinγ）且
3cosα+4cosβ+5cosγ=0, 3sinα+4sinβ+5sinγ=0.
（1）求证向量a⊥b
（2）设向量a与向量a+b+c的夹角为θ，求cosθ。

求详细过程，第二问答案为（2倍根号5）/5
急，好的加分。。。

Answer 1

(1)3cosα+4cosβ=-5cosγ……①
3sinα+4sinβ=-5sinγ……②
①的平方加②的平方得
25+24（cosαcosβ+sinαsinβ）=25
即cosαcosβ+sinαsinβ=0
则（向量a）•（向量b）=cosαcosβ+sinαsinβ=0
所以向量a⊥b
（2）同样可得
cosαcosγ+sinαsinγ=-3/5
cosβcosγ+sinβsinγ=-4/5
a•(a+b+c)=a•a+a•b+a•c
=(cosαcosα+sinαsinα)+0+(cosαcosγ+sinαsinγ)
=1-3/5=2/5
另一方面
a•(a+b+c)=|a||a+b+c|cosθ
=[√(cosαcosα+sinαsinα)]{√[(cosα+cosβ+cosγ)^2+(sinα+sinβ+sinγ)^2]}cosθ
={√[3+2(cosαcosβ+sinαsinβ+cosβcosγ+sinβsinγ+cosαcosγ+sinαsinγ)]}cosθ
={√[3+2(0-4/5-3/5)]}cosθ
=[1/(√5)]cosθ
即cosθ=2√5/5

追问

嗯。那第二问呢

追答

你看是不是这样