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解：设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中点P(xo，yo)，则
x1²+y1²=10，x2²+y2²=10，两式相减得
x1²-x2²+y1²-y2²=0，变形得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
由中点公式有x1+x2=2xo，y1+y2=2yo，代入上式得2xo(x1-x2)+2yo(y1-y2)=0，
①若x1≠x2，也就是弦不与x轴垂直，则上式整理得 (y1-y2)/(x1-x2)= -xo/yo
上式左边实际上是弦的斜率，因为弦过点A(2，1)，所以斜率又可写为(yo-1)/(xo-2)，所以
-xo/yo=(yo-1)/(xo-2)，化简整理得(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4
②若x1=x2，也就是弦与x轴垂直，因为弦过点A(2，1)，所以x1=x2=2，代入圆O的方程可求得y1、y2=±√6，所以弦的两端点为M(2，√6)，N(2，-√6)，进而求得中点P (2，0)，代入①得出的(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4，发现也成立，也就是说，当x1=x2时，(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4也成立。
综上所述，弦的中点P的轨迹方程为(x-1)²+(y-1/2)²=5/4。
x1²+y1²=10，x2²+y2²=10，两式相减得
x1²-x2²+y1²-y2²=0，变形得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
由中点公式有x1+x2=2xo，y1+y2=2yo，代入上式得2xo(x1-x2)+2yo(y1-y2)=0，
①若x1≠x2，也就是弦不与x轴垂直，则上式整理得 (y1-y2)/(x1-x2)= -xo/yo
上式左边实际上是弦的斜率，因为弦过点A(2，1)，所以斜率又可写为(yo-1)/(xo-2)，所以
-xo/yo=(yo-1)/(xo-2)，化简整理得(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4
②若x1=x2，也就是弦与x轴垂直，因为弦过点A(2，1)，所以x1=x2=2，代入圆O的方程可求得y1、y2=±√6，所以弦的两端点为M(2，√6)，N(2，-√6)，进而求得中点P (2，0)，代入①得出的(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4，发现也成立，也就是说，当x1=x2时，(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4也成立。
综上所述，弦的中点P的轨迹方程为(x-1)²+(y-1/2)²=5/4。
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北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2023-08-25 广告
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