Question

P为正方形ABCD边BC上任一点，BG垂直AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE，连接BE，CE。角CBE的平分线交

E与N点，求证：BN=DN=√AN
我是初二的 。。。不会共圆什么的

Answer 1

证明：∵AB=BE，
∴∠BAG=∠BEG，
∵BG⊥AP，∠ABC=90°，
∴∠BAG=∠PBG=∠BEG，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠EBN=∠CBN，
∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG，
即∠BNG=∠NGB=45°，
∴△BNG是等腰直角三角形，BN=√2 GN，
连接CN、AC，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG）=90°，
又∠ADC=90°，
∴A、D、C、N四点共圆，
∴∠CND=∠CAD=45°，
∴∠AND=45°，
过D作DM⊥AE于点M，则△DNM为等腰直角三角形，
∴DN=√2 DM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠BAG=90°，
∴∠ADM=∠BAG，
在△ABG和△DAM中，
角ADM=角BAG 角AMD=角AGB AB=AD，
∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴AG=DM，
∴BN+DN=√2 GN+ √2AG= √2（GN+AG）= √2AN

Answer 2

证明：连接BD。设∠BAP=θ，因为BG垂直评分AE，所以∠AEB=θ，∠ABE=180°-2θ，∠CBE=90-2θ

BE=BA=BC，∠CBN=∠EBN=45°-θ，∠BNG=∠BEA+∠EBN=45°，故∠BNG=∠NBG=45°，BN=√2GN=√2BG

∠DBN=∠DBC+∠CBN=45°+45°-θ=90°-θ，∠ABG=90°-θ

在△ABG与△DBN中，AB/DB=BG/BN=√2/2，∠ABG=∠DBN，所以△ABG∽△DBN，AG/DN=AB/DB=√2/2

即是DN=√2AG

所以BN+DN=√2GN+√2AG=√2AN

Answer 3

证明：连接BD。设∠BAP=θ，因为BG垂直评分AE，所以∠AEB=θ，∠ABE=180°-2θ，∠CBE=90-2θ

BE=BA=BC，∠CBN=∠EBN=45°-θ，∠BNG=∠BEA+∠EBN=45°，故∠BNG=∠NBG=45°，BN=√2GN=√2BG

∠DBN=∠DBC+∠CBN=45°+45°-θ=90°-θ，∠ABG=90°-θ

在△ABG与△DBN中，AB/DB=BG/BN=√2/2，∠ABG=∠DBN，所以△ABG∽△DBN，AG/DN=AB/DB=√2/2

即是DN=√2AG

所以BN+DN=√2GN+√2AG=√2AN

Answer 4

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