Question

已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，

若bn=anlog1/2an （n和1/2都在下脚）, Sn=b1+b2+...+bn，求使Sn+n2^n=1＞30成立的n的最小值。

Answer 1

设an的公比为q，由已知，
a2+a3+a4=28，2(a3+2)=a2+a4
得，a3=8,a2+a4=20,解得a1=2,q=2

∴an=a1q^(n﹣1)=2^n；
bn=2^nlog1/2(2^n)=-nx2^n，设Tn=1×2+2×2^2+3×2^3+…+n×2^n，①则2Tn=1×2^2+2×2^3+…+（n﹣1）×2^n+n×2^(n+1)，②
①﹣②得：﹣Tn=（2+2^2+…+2^n）﹣n×2^(n+1)=﹣（n﹣1）×2^(n+1)﹣2，
∴Sn=﹣Tn=﹣（n﹣1）×2^(n+1)﹣2故Sn+n•2^（n+1）＞30,即﹣（n﹣1）×2^(n+1)﹣2+n×2^（n+1）＞30，即2^（n+1)-2>30,2^（n+1)>32,2^5=32，n+1>5,得n>4
∴满足不等式的最小的正整数n为5．