Question

已知关于x的方程2x-(√3+1)x+m=0的两个根sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π),求:sinθ/(1-cotθ)+cosθ/(1-tanθ

详细过程，不要跳步~
题错了，是2x^2-后面的式子，不好意思~

Answer 1

题目中的方程错了吧……应该是x*x-(√3+1)x+m=0，否则怎么可能有2个根……
首先化简目标式sinθ/(1-cotθ)+cosθ/(1-tanθ )
sinθ/(1-cosθ/sinθ)+cosθ/(1-sinθ/cosθ)
sinθ*sinθ/(sinθ-cosθ)+cosθ*cosθ(cosθ-sinθ)
通分
(sinθ*sinθ-cosθ*cosθ)/(sinθ-cosθ)
sinθ+cosθ (sinθ不可能等于cosθ,否则目标式无意义）
即方程两根之和：√3+1

接下来求m
（sinθ+cosθ）^2 =sinθ*sinθ+cosθ*cosθ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=(√3+1)^2
即sinθcosθ=(3+2√3)/2
即两根之积m=(3+2√3)/2

追问

对，打错了，是2x^2

追答

呃啊……那你自己改一下计算结果好了，倒是对化简没什么影响

Answer 2

解：令 u =sin θ,
v =cos θ,
则 tan θ =u/v,
cot θ =v/u.

由韦达定理,
u +v = -(√3 +1)/2,
uv =m/2.

所以 sinθ /(1 -cotθ) +cosθ /(1 -tanθ)
=u /(1 -v/u) +v /(1 -u/v)
=u^2 /(u -v) +v^2 /(v -u)
=u +v.
= -(√3 +1)/2.

且 m =2uv
=(u +v)^2 -(u^2 +v^2)
= (4+2√3) /4 -1
=√3 /2.

= = = = = = = = =
换元法。
韦达定理。
以上计算可能有误。

追问

这个韦达定理没明白

追答

不好意思，做错了，应该是
u +v = (√3 +1)/2,

最后 sinθ /(1 -cotθ) +cosθ /(1 -tanθ) =(√3 +1)/2,
m =√3 /2.

韦达定理
x1 +x2 = -b/a, （注意负号。）
x1 *x2 = c/a.

就是根与系数的关系。

百度百科：韦达定理

Answer 3

sinθ/(1-cotθ)+cosθ/(1-tanθ)
=sinθ/[1-cosθ/sinθ]+cosθ/[1-sinθ/cosθ]
=(sinθ)^2/(sinθ-cosθ)+(cosθ)^2/(cosθ-sinθ)
=[(sinθ)^2-(cosθ)^2]/(sinθ-cosθ)
=(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)/(sinθ-cosθ)
=sinθ+cosθ=(√3+1)/2
用的是根与系数关系。
(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^+2sinθcosθ+(cosθ)^2=1+2sinθcosθ
所以，sinθcosθ=√3/4
sinθcosθ=m/2
m=√3/2

追问

不明白那两个根相加为什么会得出(√3+1)/2。