Question

不定积分求教 ∫ 1/(sinx^2 + 2cosx^2 ) dx

Answer 1

∫ 1 / (sin²x + 2 cos²x) dx
=∫ (1 / cos²x) / (2 + tan²x) dx
令u = tanx，du = sec²x dx
=∫ 1 / (2 + u²) du
令u = √2 tanv，du = √2 sec²v dv
2 + u² = 2 + 2 tan²v = 2 sec²v
=(√2 / 2) ∫ 1 / sec²v * sec²v dv
=1 / √2 * v+C
=(1 / √2) arctan(u / √2) + C
=(1 / √2) arctan[tanx / √2] + C

Answer 2

∫ 1 / (sin²x + 2cos²x ) dx
= ∫ (1 / sin²x) / (1 + 2cot²x ) dx
= - ∫ 1 / (1 + 2cot²x ) dcotx
= - 1 / √2 ∫ 1 / [1 + (√2cotx )²] d√2cotx
= - 1 / √2 arctan(√2 cotx) + C

Answer 3

可以分子分母同除cosx^2，将上方的1/cosx^2收为dtanx，下方为2+tanx^2,剩下的就很简单了。。。