Question

已知x属于【-π/6，,-π/2】。求函数y=（sinx+1)*(cosx+1)的最大值和最小值。标准答案为：

接上题：最大值为二分之三+二分之二根号二；最小值：二分之一+四分之根号五 请数学高手给出详细解答（说明）过程，快，谢谢！答得好的，视具体情况，额外再加悬赏分5~25分~

Answer 1

因为sinx和cosx在[-π/2,-π/6]都是单调递增的，所以sinx+1和cosx+1在[-π/2,-π/6]也是单调递增的；且sinx+1和cosx+1都大于或等于0，所以y在[-π/2,-π/6]也是单调递增的，y的最小值在-π/2处取得，为（sin(-π/2)+1)*(cos(-π/2)+1)=0;y的最大值在-π/6处取得，为（sin(-π/6)+1)*(cos(-π/6)+1)=1/2+√3/4。
同学，你的答案是错误的。

Answer 2

y'=cosx-sinx+(sin2x/2)'=2cosx-sinx
y'=0=>2cosx-sinx=0
已知x属于【-π/6，,-π/2】，所以y'<>0
所以极值在边界上。
x=-π/6时，y=1/2*(1+根号3/2)=1/2+根号3/4
当x=-π/2时，y=0。
所以，1/2+根号3/4是最大值。0是最小值。

Answer 3

将原式展开后为sinxcosx+sinx+cosx+1
换元：t=sinx+cosx 由辅助角公式可知t∈[-根号2，根号2]
sinxcosx=(t²-1)／2
则原式变为关于t的一个二次函数求值域

Answer 4

原式=sinxcosx+sinx+cosx+1
令t=sinx+cosx，
因为sinx+cosx=根号2*sin(x+π/4)∈[-根号2，根号2]，
所以t∈[-根号2，根号2]
t²=sin²x+cos²x+2*sinx*cosx=1+2*sinx*cosx
所以sinxcosx=(t²-1)／2
故原式=(t²-1)／2+t+1=t²／2+t+1/2，(t∈[-根号2，根号2])，二次函数求值域即可。