Question

△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连结DE。

1）求证：DE与圆O相切.
2）若圆O的半径为√3，DE=3，求AE. （√为根号）

Answer 1

连接OE、BE。

△BCE中，DE是斜边上的中线，得DE=BD=CD,

所以角C=角CED。

△AOE中，角A=角AEO；

又因为角A+角C＝90°，

所以角AEO+角CED＝90° 。

所以角OED＝90°。

所以DE与圆O相切。

Rt△ABC中，AB=2倍根号3，BC＝2DE＝6。

所以角A=60°。

所以△AEO是等边三角形，AE=根号3。

Answer 2

解析：∵AB为直径∴∠AED=90°，
Rt△BCE中，D是BC边上的中点，
则DB=DE=DC,
又OB=OE,OD=OD,
△BOD≌△EOD,
∴∠OED=∠OBD,
∵∠OBD=90°∴∠OED=90°，
∴DE与圆O相切，
由DE=3,R=√3,则BC=BD+CD=3+3=6,AB=2√3,
勾股得AC=4√3,
由射影定理或△ABE∽△ACB,
得AB/AE=AC/AB，
∴AE=AB^2/AC=12/4√3=√3,

Answer 3

第一问实际上是证明OE垂直于DE，具体过程如下：因为AO=BO,BD=CD,所以OD//AC，故角DOE=角AEO，且角BOD=角BAC。又因为AO=OE，所以角OAE=角AEO=角DOE=角BOD。且OD=OD，BO=EO，故三角形BOD全等于三角形DOE，则角OED=角OBD=90度。
第二问：tan(角DOE)=DE/OE=根号3，故角DOE=60度，则角AEO=角DOE=60度。又因为AO=OE，所以三角形AOE为等边三角形。故AE=AO=OE=根号3。