Question

直线l过点（0，-4），在直线上一点P做圆C：x²+y²-2y=0的切线PA,PB，（A,B在圆C上）

直线l过点（0，-4），在直线上一点P做圆C：x²+y²-2y=0的切线PA,PB，（A,B在圆C上），若四边形PACB面积最小值为2，求直线l的斜率

Answer 1

Spacb=cb*pb=2
因为cb=r=1
所以pb=2
pc=√1^+2^2=√5
面积最小时候，因为cb的长度是半径，所以必须pb取得了最小值。。。此时恰好，pc垂直于直线l
那么pc是圆心c到直线l的距离
设直线l斜率为k,写出直线的方程 kx-y-4=0
pc=5/√1+k^2=√5
得到k=2或-2

追问

为什么是pc垂直l而不是pb垂直l的时候最小?

追答

因为就pb来看，他啥时候取最小值不好确定，，而pc恰好是pc垂直于l的时候，取到最小值
因为这个四边形是两个全等的直角三角形pcb和三角形pca构成的，面积就等于2倍的三角形pcb的面积。。这个四边形的面积就等于pb*cb
你想想，对于一条已知的直线来说，直角边cb是半径，是一定的，那么斜边pc取得了最小值时候，
另一条直角边pb就能取到最小值。。。但是光看pb啥时候取到最小值，却不好说。。

一个简单的道理，说了这么多，希望对你有帮助、

Answer 2

解：
圆C：x²+y²-2y=0的标准方程为：
x²+（y-1）²=1，圆心C为（0，1），半径R为：1
设直线方程为：
y+4=kx，即y=kx-4
设P点坐标为（a，ka-4），
那么PA距离为：
√（PC²-1）即√[a²+（ka-5）²-1]
四边形PACB面积为：
PA×R
=√[a²+（ka-5）²-1]×1
=√[（k²+1）a²-10ka+24]
最小值为：
因为k²+1＞0，所以当a=5k/(k²+1）时有最小值
代入得
√{（k²+1）[5k/(k²+1）]²-10k×5k/(k²+1）+24｝
=√[24-25k²/（k²+1）]=2
∴24-25k²/（k²+1）=4
∴25k²/（k²+1）=20
k²=4
k=±2
所以直线l方程为：
y=2x-4或者y=-2x-4

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Answer 3

±1 提示: PC 垂直直线l时 四边形面积最小