Question

1. 如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移动,……

1. 如图，在直角坐标系xOy中，已知正三角形ABC的边长为2，点A从点O开始沿着x轴的正方向移

，点B在∠xOy的平分线上移动。（1）当AB⊥x轴的时候，求OA的值，此时OA的值是最大值吗？（2）求点C到原点的最大距离。

Answer 1

（1）AB⊥x 轴，因正三角形边长 AB=2，所以 B 点纵坐标 y=2，OA=AB=2；
此时 OA 不是最大，最大值是当 AB⊥OB 时 A 点位置；
（2）设 A 点坐标为 (a,0)（即 OA=a），∠OAB=α，则 0≤α<180°；
对△OAB应用正弦定理：AB/sin45°=OA/sin(45°+α)；代入数据化简：a=2(sinα+cosα)；
对△OAC应用余弦定理：OC²=OA²+AC²-2OA*ACcos(60°+α)=a²+2²-4a*cos(60°+α)；
将 a 代入 OC² 的表达式式中化简：OC²=4(sinα+cosα)²+4-8(sinα+cosα)cos(60°+α)
=8+4sin2α-4(sinα+cosα)(cosα-√3sinα)=4+(2+2√3)sin2α+(4+4√3)sin²α
=4+(2+2√3)(1+sin2α-cos2α)=4+(2+2√3)[1+√2sin(2α-45°)]≤4+(2+2√3)(1+√2)=6+2(√2+√3+√6)；
所以 C 到原点 O 的最大距离是 √[6+2(√2+√3+√6)]≈3.405（当 ∠OAB=135°/2=67.5° 时）；