Question

一道高中数学题。求解答

Answer 1

证明：（I）连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．
又∵B₁C⊄平面A₁BD，ED⊂平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD.
（II）∵AC₁⊥平面ABD，A₁B⊂平面ABD，
∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，
∴A₁B⊥AB₁．
又∵AC₁∩AB₁=A，AC₁，AB₁⊂平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．
又∵B₁C₁⊂平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴BB₁⊥B₁C₁．
又∵A₁B∩BB₁=B，A₁B，BB₁⊂平面ABB₁A₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A_1.