Question

在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D。求证AD²=BD·DC

Answer 1

AD^2=AB^2-BD^2, AD^2=AC^2-CD^2
2倍的AD的平方=AB^2-BD^2+AC^2-CD^2 =BC^2-BD^2-CD^2
=(BC+BD)(BC-BD)-CD^2
=CD(BC+BD)-CD^2
=CD(BC+BD-CD)=CD(2BD)
AD^2=CD*BD

Answer 2

因为∠B＝∠CAD（两个角的两边分别垂直），∠BDA=∠ADC
∴△BDA∽△ADC
∴BD/AD=AD/DC
∴AD²=BD·DC

Answer 3

用2角对应相等的2个三角形相似，证明三角形ABD相似于三角形CAD.AD/CD=BD/AD,即AD^2=BD*CD(这仅为射影定理的一个结论，还有2个：AB^2=BD*BC,AC^2=CD*BC）