Question

数学高考题

已知椭圆x^2/4+y^2/2=1，A、B是其左、右顶点，动点M满足MB垂直于AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A、B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点，则Q的坐标为 答案是 (0，0) 求解释

Answer 1

解：由题设，可设点：
M(2,m), P(2cost, √2sint), Q(q,0). (m,q,t∈R).又易知点A(-2,0), B(2,0).
【1】由A,P,M三点共线，可得：m=[(2√2)sint]/(1+cost).
【2】由斜率公式可得：直线BP的斜率Kbp=(√2sint)/[2(cost-1)].
直线MQ的斜率Kmq=m/(2-q).
【3】由题设可知，∵以线段MP为直径的圆过直线BP,MQ的交点N.
∴由“直径上的圆周角为直角”可知，∠MNP=Rt∠.
∴两直线BP, MQ互相垂直，
∴Kbp×Kmq=-1.
把上面结论代入Kbp×Kmq=-1中，并注意到m=[(2√2)sint]/(1+cost).
∴[(√2sint)/(2cost-2)] ×[m/(2-q)]=-1.
∴q-2=(√2)msint/[2(cost-1)]={( √2)sint/[2(cost-1)]} ×[(2√2)sint/(cost+1)]
=-2.即q-2=-2.
∴q=0.
∴点Q(0,0)