Question

如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数。

我知道答案等于18°，但过程中就是证明不了△AEF是等边三角形。

Answer 1

你的想法是对的，只要证明△AEF是等边三角形就可以了，
解：作CD，BC边上的高AM,AN,垂足为M,N
因为AM⊥CD,AN⊥BC,
所以∠AMD=∠ANB=90°，
在菱形ABCD中∠D=∠B=60°，
AD=AB
所以△ADM≌△ABN
所以AM=AN,
因为∠EAF=60°，
所以∠EAD=48°
所以∠FAM=∠FAD-∠DAM=48-30=12,
又∠EAN=∠BAN-∠BAE=30-18=12,
所以△AFM≌△AEN
所以AF=AE,
因为∠EAF=60
所以△AEF是等边三角形
所以∠CEF=180-∠FEA-∠AEB=180-60-102=18°

或者，
解：作CD，BC边上的高AM,AN,垂足为M,N，
在菱形ABCD中,DC=BC,由面积不变，得,
DC*AM=BC*AN
所以AM=AN,
因为∠EAF=60°，
所以∠EAD=48°
所以∠FAM=∠FAD-∠DAM=48-30=12,
又∠EAN=∠BAN-∠BAE=30-18=12,
所以△AFM≌△AEN
所以AF=AE,
因为∠EAF=60
所以△AEF是等边三角形
所以∠CEF=180-∠FEA-∠AEB=180-60-102=18°

Answer 2

连接AC
∵菱形ABCD中，∠ B=60°
∴AB=BC=CD=DA
∴AB=AC，∠FCA=∠B=60°
又∠EAF=60°
∴∠CAF=∠BAE=18°
∴△BAE全等于△CFA
∴AE=AF
∴∠FEA=60°
∴∠AEB=180°-18°-60°=102°
∴∠CEF=180°-∠FEA-∠AEB=180°-60°-102°=18°

Answer 3

连接AC，
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA,∠B=60°
∴AB=AC，∠FCA=∠B=60°
又∵∠EAF=60°
∴∠CAF=∠BAF=18°
在△BAE和△CFA中，
∠FCA=∠B
AB=AC
∠CAF=∠BAE
∴△BAE≌△BAE（ASA）
∴AE=AF
∴∠FEA=60°
∵∠AEC=∠ABE+∠BAE=69°+18°=78°
∴∠CEF=∠CEA-∠FEA=78°-60°=18°