Question

急 知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上，BC=kAB

已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上，BC=kAB（k≠0）。
（1）当k=1时，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F，写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明；
（2）若k≠1，∠BEF=∠ABC，其他条件不变，探究线段EF与EB的数量关系，并说明理由。

Answer 1

懒得贴图，自己对照。
∠BEF=∠ABC=90°，m、n平行，∠ABC=90°，所以∠BAF=90°。
这样，∠BEF=∠BAF=90°。A、B、E、F四点共圆。
所以，∠BFE=∠BAC。而∠BEF=∠ABC=90°。
所以，三角形FEB相似于三角形ABC，F、E、B分别对应于A、B、C。
所以，EF / EB = BA / BC = 1 / k，所以

（1）当k=1时，EB=EF 。
（2）当k≠1时，EB=k EF 。

Answer 2

：（1）EF＝EB.

　　证明：如图6，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连结EM，

　　∴EM＝EA.∴∠EMA＝∠EAM.......1分

　　∵BC＝kAB,k=1,∴BC=AB.……2分

　　∴∠CAB＝∠ACB.……3分

　　∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC.

　　∴∠MAC＝∠CAB.……4分

　　∴∠CAB＝∠EMA.……5分

　　∵∠BEF＝∠ABC，∴∠BEF＝∠FAB.……6分

　　∵∠AHF＝∠EHB，∴∠AFE＝∠ABE.……7分

　　∴△AEB≌△MEF.……8分

　　∴EF＝EB.……9分

　　探索思路：如图6，∵BC＝kAB,k=1,∴BC=AB.……1分

　　∴∠CAB＝∠ACB.∵m∥n,∴∠MAC=∠ACB.……2分

　　添加条件：∠ABC＝90°.

　　证明：如图7，在直线m上截取AM＝AB，连结ME.

　　∵BC＝kAB,k=1,∴BC=AB.

　　∵∠ABC＝90°，∴∠CAB＝∠ACB＝45°.

　　∵m∥n,∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°,∠FAB=90°.

　　∵AE＝AE，∴△MAE≌△BAE.……3分

　　∴EM＝EB，∠AME＝∠ABE.……4分

　　∵∠BEF=∠ABC=90°,∴∠FAB+∠BEF=180°.

　　∴∠ABE+∠EFA=180°.又∵∠AME＋∠EMF＝180°，

　　∴∠EMF＝∠EFA.……5分

　　∴EM＝EF.∴EF＝EB.

　　（2）EF＝EB.

　　说明：如图8，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M、N.

　　∴∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°.……10分

　　∵m∥n,∠ABC=90°,∴∠MAB=90°.

　　∴四边形MENA为矩形.

　　∴ME＝NA，∠MEN＝90°.

　　∵∠BEF＝∠ABC＝90°，∴∠MEF＝∠NEB.……11分

　　∴△MEF∽△NEB.……12分

　　∴ME/EN=EF/EB

　　∴AN/EN=EF/EB

　　在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝k，……13分

　　∴EF＝EB.……14分

图在参考资料里。

追问

谢谢
但不是这道题

Answer 3

啥