Question

点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线……

点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=AB，连接AC，在AC上任取一点E，作角BEF=角ABC，EF交m于F，求证：当角ABC=90度时，线段EF于EB的关系

Answer 1

解：（1）EF=EB．
证明：如图1，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB．
∴∠CAB=∠EMA．
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB．
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE．
在△AEB和△MEF中，
∵∠CAB=∠EMA∠ABE=∠AFEEA=EM
∴△AEB≌△MEF（AAS）．
∴EF=EB．
探索思路：
如图1，∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB．

添加条件：∠ABC=90°．
证明：如图2，在直线m上截取AM=AB，连接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE．
∴EM=EB，∠AME=∠ABE．
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA．
∴EM=EF．
∴EF=EB．

（2）EF=1kEB．
证明：如图3，过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°．
∴四边形MENA为矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB．
∴△MEF∽△NEB．
∴MEEN=EFEB，
∴ANEN=EFEB．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=ENAN=BCAB=k，
∴EBEF=k，
∴EF=1kEB．

Answer 2

垂直啊