Question

点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作

点A、B分别是两条平行线m、n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC=kAB，连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF=∠ABC，EF交直线m于点F．（1）如图1，当k=1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；说明：①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程（要求至少写三步）；②在完成①之后，可以自己添加条件（添加的条件限定为∠ABC为特殊角），在图2中补全图形，完成证明（选择添加条件比原题少得3分）．（2）如图3，若∠ABC=90°，k≠1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）EF=EB．
证明：如图1，以E为圆心，以EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM． 
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB． 
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB． 
∴∠CAB=∠EMA． 
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB． 
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE． 
在△AEB和△MEF中，
∵

∠CAB＝∠EMA ∠ABE＝∠AFE EA＝EM

∴△AEB≌△MEF（AAS）． 
∴EF=EB． 
探索思路：
如图1，∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB． 

添加条件：∠ABC=90°．
证明：如图2，在直线m上截取AM=AB，连接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE． 
∴EM=EB，∠AME=∠ABE． 
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA． 
∴EM=EF．
∴EF=EB． 

（2）EF=

1

k

EB．
证明：如图3，过点E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足为M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°． 
∴四边形MENA为矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB． 
∴△MEF∽△NEB． 
∴

ME

EN

=

EF

EB

，
∴

AN

EN

＝

EF

EB

．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=

EN

AN

＝

BC

AB

＝k，
∴

EB

EF

=k，
∴EF=

1

k

EB．