Question

初二数学题：在四边形ABCD中，AD//BC,<ABC=90°，AB=BC,E为AB上一点，AE=AD，且BF∥CD，AF垂直CE于F

连接DE交对角线AC于H，下列结论正确的序号是：
求题目的详细过程，谢谢！图在下面：

Answer 1

答案：D

解：∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°．
∵AB=CB，
∴∠BAC=45°，
∴∠DAC=45°．
又∵AC=AC，
∴△AEC≌△ADC．
∴①△ACD≌△ACE正确．

∵△AEC≌△ADC，
∴DC=CE．
又∵AD=AE，
∴AC是DE的垂直平分线．
即AC垂直平分ED．
∴②AC垂直平分ED正确．

易证F、A、B、C共圆，
因为BC为弦，∠CFB=CAB=45°，FB∥CD，
所以∠FCD=45°，∠ACE=∠ACD=22.5°，
又因为∠ACB=45°，
所以∠FCB等于22.5，
故④正确；

延长DA，交BF延长线于M，
易证MBCD是平行四边形，对
角相等，所以∠M=67.5°，
易证∠FAB=∠FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似），
所以∠FAE=22.5°，
所以∠MAF=67.5°，
所以∠M=∠MAF，
故AF=MF，
易证∠EBF=22.5°，
所以∠FAB=∠FBA，
所以AF=FB，
所以MF=BF，
又因为MB=CD=CE（对边以及全等），
所以2FB=CE④∵∠ABC=90°，OE=OC，
∴BO=CO=CE
∴∠OCB=∠OBC．
∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，
∴∠FOB=2∠OCB．
∵BF∥CD，
∴∠BFO=∠DCF．
∵∠BFO=∠DCF=∠FOB，
∴∠BFO=∠FOB．
∴BF=OB．
∴BF=CE，
即CE=2BF，故③正确．
故答案选D．
点评：本题考查了三角形全等的判断和性质；垂直平分线的判定；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；等腰直角三角形两底角都是45°，题目难度不小，有一定的综合性．

Answer 2

正确的有(1)(2)(3)(4)
选,DDDDDDDDD
理由:
(1)AB=BC,∠ABC=90
所以,∠BAC=∠ACB=45
AD//BC
∠CAD=∠ACB=45
所以,∠CAD=∠CAE=45
AE=AD,∠CAD=∠CAE=45,AC=CA
△ACD≌△ACE(SAS)

AC是∠DCE平分线
(2)AE=AD,∠DAH=∠EAH=45,AH=HA
△AEH≌△AED(SAS)
所以,∠AHE=∠AHD,EH=HD
∠AHE+∠AHD=180,因∠AHE=∠AHD
∠AHE=∠AHD=90
又AC垂直于ED,,EH=HD
即,AC是ED的垂直平分线
(3)在CE上取CG=AF,连接BG,
在RT△AEF和RT△BEC中,
∠AFE=∠BEC=90,∠AEF=∠BEC
所以,∠EAF=∠BCE
EH=HD,∠EAF=∠BCE,AB=BC
△ABF≌△BCG(SAS)
所以,BF=BG,∠ABF=∠CBG
又∠EBC=∠CBG+∠EBG=90,因∠ABF=∠CBG
所以,∠EBC=∠ABF+∠EBG=90
∠FBG=∠ABF+∠EBG=90
∠FBG=90,BF=BG
所以,△FBG是等腰直角三角形
∠BFE=45
BF//CD
∠DCE=∠BFE=45
又AC是∠DCE平分线
∠ACD=∠ACE=1/2∠DCE=1/2*45=22.5
又∠ACB=∠ACE+∠BCE=45
∠BCE=∠ACB-∠ACE=45-22.5=22.5
所以,∠BCE=∠ACE=22.5
即,CE平分∠ACB
(4)延长AF和CB交于M
∠EAF=∠BCE,∠ABM=∠BEC=90,AB=BC
RT△ABM≌RT△BCE(SAS)
CE=AM
又,CE平分∠ACB,∠BCE=∠ACE=22.5,
AF垂直于CF,∠AFC=∠CFM=90,AC=CA∠BCE=∠ACE=22.5,
RT△ACF≌RT△CFM(ASA)
AF=FM
所以,BF是RT△ABM斜边上中线
AM=2BF
因,CE=AM
即有,CE=2BF