Question

设函数y=fx是定义域在R的函数,且fx>0,对于任意的实数x,y,都有f(x+y)=f(x)f(y)，当x＞0时，fx＞1

1）求f（0）
2）判断f（x）在R的单调性并用定义证明
3）若f（1）=2，解不等式f（x）f（x+1）＜4

Answer 1

解:1.令x=0 得f(0)=f(0)f(0) f(0) =0
2. f（x)在R上的单调递增.
证明: 在R内任取x1 ,x2 且 x1< x2 x2-x1>0 f(x2-x1)>1
f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1) f(x1)>f(x1) 故f（x)在R上的单调递增
3. f（1）=2 f(x+y)=f(x)f(y)，令x=y=1 f(2)=f(1)f(1)=4
不等式f（x）f（x+1）＜4 可化为 f[x(x+1) ] <f(2)
x(x+1)<2 解得-2<x<1

Answer 2

1) f(x+y)=f(x)f(y)，令x=1,y=0 有f(1) = f(0)f(1) f(1) (1-f(0)) = 0 而当x＞0时，f(x)＞1 所以f(1)不等于0 ,所以f(0)必为1
2) f(x+y)=f(x)f(y)，可得f(x1-x2) f(x2) = f(x1)
即f(x1-x2) = f(x1)/f(x2)
若x1>x2 ,因为当x＞0时，f(x)＞1 ,有f(x1-x2)>1 即f(x1)/f(x2)>1 f(x1)>f(x2)
所以f(x)严格递增
3) f（x）f（x+1） = f(2x+1)
4 = 2*2 = f(1)*f(1) = f(2)
所以f（x）f（x+1）＜4即f(2x+1)<f(2)
根据单调性质,即2x+1<2 x<1/2

Answer 3

1、以x=y=0代入，得：f(0＋0)=f(0)f(0)=[f(0)]²，即f(0)=0【舍去】或f(0)=1，则f(0)=1；
2、取x1>x2，则f(x2)－f(x1)=f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)=【f(x2－x1)f(x1)】－f(x1)=f(x1)[f(x2－x1)－1]，由于x2－x1>0，则f(x2－x1)>1，即f(x2－x1)－1>0，从而有f(x2)－f(x1)>0，即单点递增；
3、f(1)=2，则f(2)=f(1)f(1)=4，所以f(x)f(x＋1)=f(2x＋1)<f(2)，解得x<1/2。

Answer 4

(1) f(1)=f(0)f(1)
f(0)=1
(2) 对大于零的任意实数a，有
f(x+a)-f(x) = f(x)f(a)-f(x) = f(x)(f(a)-1) >0
所以f(x)在定义域R上单调递增
(3) f(x)f(x+1) = f(2x+1) = f(2x)f(1)，又f(1)=2，原不等式成为
2f(2x) < 4
f(2x) < 2
对增函数f(x)，且知道f(1)=2，所以
2x < 1
x < 1/2

Answer 5

1，f（0）=f（0+0）=f（0）*f（0） 解方程，得f（0）=0或1又因为f（0）>0，所以f（0）=1
2.1=f(x-x)=f(x)*f(-x),f(-x)=1/f(x)，设x1>x2>0， f（x1）/f（x2）=f（x1）*f（-x2）=f（x1-x2）>1所以为增函数。
(3)f（x）f（x+1）＜4，即 f（x+x+1）<f(1)*f(1)=f(2)
2x+1<2 x<1/2