Question

已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐

已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B的坐标；（2）过点D作DH丄y轴于点H，若DH=HC，求a的值和直线CD的解析式；（3）在第（2）小题的条件下，直线CD与x轴交于点E，过线段OB的中点N作NF丄x轴，并交直线CD于点F，则直线NF上是否存在点M， 使得点M到直线CD的距离等于点M到原点O的距离？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（1）由y=0得，ax 2 -2ax-3a=0， ∵a≠0， ∴x 2 -2x-3=0， 解得x 1 =-1，x 2 =3， ∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）； （2）由y=ax 2 -2ax-3a，令x=0，得y=-3a， ∴C（0，-3a）， 又∵y=ax 2 -2ax-3a=a（x-1） 2 -4a， 得D（1，-4a）， ∴DH=1，CH=-4a-（-3 a）=-a， ∴-a=1， ∴a=-1， ∴C（0，3），D（1，4）， 设直线CD的解析式为y=kx+b，把C、D两点的坐标代入得， ， 解得 ， ∴直线CD的解析式为y=x+3； （3）存在． 由（2）得，E（-3，0），N（- ，0） ∴F（ ， ），EN= ， 作MQ⊥CD于Q， 设存在满足条件的点M（ ，m），则FM= -m， EF= = ，MQ="OM=" 由题意得：Rt△FQM∽Rt△FNE， ∴ = ， 整理得4m 2 +36m-63=0， ∴m 2 +9m= ， m 2 +9m+ = + （m+ ） 2 = m+ ="±" ∴m 1 = ，m 2 ="-" ， ∴点M的坐标为M 1 （ ， ），M 2 （ ，- ）．

略