Question

在平面直角坐标系中，已知点P 0 的坐标为（1，0）．将点P 0 绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P 1 ，

在平面直角坐标系中，已知点P 0 的坐标为（1，0）．将点P 0 绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P 1 ，延长OP 1 到点P=2，使OP 2 =2OP 1 ；再将点P 2 绕着原点O按逆时针方向旋转30°得到点P 3 ，延长OP 3 到点P 4 ，使OP 4 =2OP 3 ；…如此继续下去．求：（1）点P 2 的坐标；（2）点P 2003 的坐标．

Answer 1

（1）设P 2 的坐标为（x，y），作P 2 M⊥x轴，垂足为M． ∵OP 2 =2OP 1 =2OP O =2×1=2．∠P 2 OM=30°， ∴y=MP 2 =2sin30°=1，x=OM=2cos30°= 3 ， ∴P 2 的坐标为（ 3 ，1）； （2）按照这样的变化规律，点P 23 、P 24 又回到了x轴的正半轴上， ∵2003=24×83+11， ∴点P 2003 落在x轴的负半轴上， ∵OP 3 =OP 2 =2，OP 5 =OP 4 =2 2 ，OP 7 =OP 6 =2 3 ，… ∴OP 2003 =OP 2002 =2 1001 ， ∴点P 2003 的坐标为（-2 1001 ，0）．