Question

已知函数f(x)＝(x2?x?1a)eax（a＞0且a为常数）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式

已知函数f(x)＝(x2?x?1a)eax（a＞0且a为常数）．（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若不等式f(x)+3a≥0对x∈[-3a，+∞）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

对函数f（x）求导得：f′（x）=e^ax（ax+2）（x-1）
（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=e^2x（2x+2）（x-1）
令f′（x）＞0解得x＞1或x＜-1；
令f′（x）＜0解得-1＜x＜1；
所以，f（x）单调增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；
f（x）单调减区间为（-1，1）
（Ⅱ）令f′（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，
解得x＝?

2

a

或x=1
由a＞0时，得：当x∈（-∞，-

2

a

）时，f^′（x）＞0，函数f（x）此区间单调递增；
当x∈(?

2

a

，1)时，f^′（x）＜0，函数f（x）在此区间单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f^′（x）＞0，函数f（x）在此区间单调递增，

∵f（-

3

a

）＞0，f（1）＜0，所以，函数在x=1时取得最小值f(1)＝?

1

a

ea＜0
所以，当x∈R时，f(x)min＝f(1)＝?

1

a

ea，
由题意，不等式f(x)+

3

a

≥0对x∈R恒成立，
所以得?

1

a

ea+

3

a

≥0，解得0＜a≤ln3．