Question

如图,P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG=GE,连接BE,CE,求证：BE=BC

Answer 1

（1）证明：∵BG⊥AP，AG=GE，

∴BG垂直平分线段AE，

∴AB=BE，

在正方形ABCD中，AB=BC，

∴BE=BC；

（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．

自点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，

∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，

∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，

∴△BCN≌△BEN，∴CN=NE，△CEN是等腰△，

延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，

A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]

Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形， √2 DM=√ 2 AG=DN， √2 GN=BN， √2 AG+ √2 GN=√ 2 AN=BN+DN；

Answer 2

证明：∵AB=BE，
∴∠BAG=∠BEG，
∵BG⊥AP，∠ABC=90°，
∴∠BAG=∠PBG=∠BEG，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠EBN=∠CBN，
∴∠PBG+∠CBN=∠EBN+∠BEG，
即∠BNG=∠NGB=45°，
∴△BNG是等腰直角三角形，BN=√2 GN，
连接CN、AC，则∠CNE=2（∠EBN+∠BEG）=90°，
又∠ADC=90°，
∴A、D、C、N四点共圆，
∴∠CND=∠CAD=45°，
∴∠AND=45°，
过D作DM⊥AE于点M，则△DNM为等腰直角三角形，
∴DN=√2 DM，
∵∠DAM+∠ADM=90°，∠DAM+∠BAG=90°，
∴∠ADM=∠BAG，
在△ABG和△DAM中，
角ADM=角BAG 角AMD=角AGB AB=AD，
∴△ABG≌△DAM（AAS），
∴AG=DM，
∴BN+DN=√2 GN+ √2AG= √2（GN+AG）= √2AN

Answer 3

因为BG垂直AE 且AG=GE 所以AB=EB 又因为四边形ABCD是正方形 所以BC=AB 所以 BE=BC。

Answer 4

（2）证明：连接CN，延长BN交CE于H．
自点D作DM⊥AN于M，

显然Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG，
∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，∴CN=NE，△CEN是等腰△，
延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]
Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形， 2 DM= 2 AG=DN， 2 GN=BN， 2 AG+ 2 GN= 2 AN=BN+DN