Question

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（12，-74），B点坐

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（12，-74），B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．

Answer 1

解答：解：（1）根据题意有：

1 4 + 1 2 b+c＝? 7 4 1+b+c＝0

，
解得：

b＝2 c＝?3

，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

（2）△BEF为等腰直角三角形．
证明：如图，当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1．
∴A点坐标为（-3，0）．
∵直线y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，
∴直线y=x+3经过点A（-3，0），交y轴于点P（0，3）．
∴OA=OP，∴∠OAP=45°．当x=0时，y=x²+2x-3=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．∴OA=OC，∴∠OAC=45°．∴∠EAF=90°，∴∠EBF=90°．
∵∠FEB=∠OAC=45°，∴∠EFB=45°，∴BE=BF．
∴△BEF为等腰直角三角形．