Question

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物

如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3．（1）写出抛物线对应的函数解析式：______；△AOD的面积是______．（2）连结CB交EF于M，再连结AM交OC于R，求△ACR的周长．（3）设G（4，-5）在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH垂直于直线EF并交于H，连接AP，GH，问AP+PH+HG是否有最小值？如果有，求点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，∵四边形OCEF为矩形，且OF=2，EF=3，
∴C点坐标为：（0，3），E点坐标为：（2，3），
将C，E代入y=-x²+bx+c得：

c＝3 ?4+2b+c＝3

，
解得：

b＝2 c＝3

，
∴抛物线对应的函数解析式为：y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
∴D点坐标为；（1，4），
当y=0，则0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴AO=1，BO=3，
∴△AOD的面积是：

1

2

×AO×4=2，
故答案为：y=-x²+2x+3，2；

（2）如图1，∵AO=1，CO=3，
∴AC=

10

，
∵CO=BO=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴FM=BF=1，
∵RO∥MF，
∴△ARO∽△AMF，
∴

RO

MF

=

AO

AF

，
∴

RO

1

=

1

3

，
解得：RO=

1

3

，
∴CR=3-

1

3

=

8

3

，
AR=

12+( 1 3 )2

=

10

3

，
∴△ACR的周长为：

10

+

8

3

+

10

3

=

8+4 10

3

；

（3）如图2，取OF中点A′，连结A′G交直线EF于点H，
过H作HP′⊥y轴于P′，连结AP′，
则当P在P′处时，使AP+PH+HG最小，
设直线A′G的解析式为y=kx+b
将A′（1，0），G（4，-5）代入得

?5＝4k+b 0＝k+b

，
解得：

k＝? 5 3 b＝ 5 3

，
∴直线A′G的解析式为：y＝?

5

3

x+

5

3

，
令x=2，得y＝?

10

3

+

5

3

＝?

5

3

，
∴点H的坐标为：(2，?

5

3

)，
∴适合题意的点P的坐标为：(0，?

5

3

)．