Question

初三数学，一道题，急要，详细过程，谢谢！！！！

如图,Rt三角形BC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,圆I分别切AC,BC,AB于D，E,F，求Rt三角形ABC的内心I与外心O之间的距离

Answer 1

AC=8。BC=6，那么AB=10
内切圆半径r
1/2r（AB+BC+AC)=1/2AC×BC
r=AC×BC/(AB+BC+AC)=8×6/(10+8+6)=2
连接ID，IE，IF
那么易得：CE=ID=IE=ID=r=2
∴BE=BF=BC-CE=6-2=4
O是外接圆心，那么OB=OA=1/2AB=5
∴OF=OB-BF=5-4=1

连接OI，那么△OFI是直角三角形
∴OI=√(OF平方+IF平方）=√(1平方+2平方）=√5

Answer 2

设圆I的半径为R，则由已知得CD=CE=R,所以BE=BF=6-R,AD=AF=8-R
又AB=根号（AC^2+BC^2）=10=AF+BF,所以(8-R)+(6-R)=10，解得R=2
所以CE=CD=2 过O分别作OG垂直于BC,OH垂直于AC交BC、AC于点G、H
则G、H分别为BC、AC的中点，所以CG=3,CH=4,所以GE=1,DH=2
过I作IM垂直于OG交OG于点M,所以IM=GE=1,OM=DH=2
所以Rt三角形ABC的内心I与外心O的距离OI=根号（IM^2+OM^2）=根号5