Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，E（1，2

如图，抛物线y=ax 2 +bx+4与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D，E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G。 （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？并求出最大面积。

Answer 1

解：（1）由题意，得 ，解得 ，b =-1， 所以抛物线的解析式为 ，顶点D的坐标为（-1， ）； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M， 因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B， 连结BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，使DH+CH最小， 即最小为DH+CH=DH+HB=BD= ， 而 ， ∴△CDH的周长最小值为CD+DR+CH= ， 设直线BD的解析式为y=k 1 x+b，则 ，解得 ， 所以直线BD的解析式为 ， 由于BC=2 ，CE= = ，Rt△CEG∽△COB， 得CE∶CO=CG∶CB，所以CG=2.5，GO=1.5，G（0，1.5）， 同理可求得直线EF的解析式为 ， 联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H ； （3）设K（t， ），x F ＜t＜x E ， 过K作x轴的垂线交EF于N， 则KN=y K -y N =- ， 所以S △EFK =S △KFN +S △KNE = KN（t+3）+ KN（1-t）=2KN=-t 2 -3t +5=-（t+ ） 2 + ， 即当t =- 时，△EFK的面积最大，最大面积为 ，此时K（- ， ）。