Question

如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE.

如图，△ABC中D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连结AE. 求证：（1）ED=DA； （2）∠EBA=∠EAB ； （3）BE 2 =AD·AC

Answer 1

证明:（1）∵CE⊥BD ∴∠CED=90°                  又 ∠BDC=60°∴∠ECD=30°                ∴CD=2ED ∵CD=2DA ∴ED=DA； （2） ∵ED=DA ∴∠DEA=∠DAE            ∵∠EDC=60° ∴∠EAD=∠DEA=30°             ∵∠BAD=45° ∴∠EAB=15°           又∠BDC=∠DBA+∠BAD ∴∠DBA=15° ∴∠EAB=∠EBA；  （3）∵∠EAB=∠EBA          ∴BE=AE         ∵∠AED=∠ACE         ∴△AED∽△ACE         ∴      ∴AE 2 =AD·AC 即BE 2 =AD·AC