Question

如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD，E为垂足，连接AE．

1）写出图中所有相等的线段，并选择其中一对给予证明；
2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对。
3）求△BEC与△BEA的面积比。

Answer 1

1.

图中相等的线段有DE＝AD， AE＝BE＝CE

证明：取CD中点F，连接EF

∵CE⊥BD，F为CD中点

∴CF＝DF＝EF

∴∠FED＝∠FDE

∵∠BDC=60

∴∠FED＝60

∴等边△FED

∴ED＝DF

∵CD＝2AD

∴AD＝DF

∴AD＝DE

∴∠DEA＝∠DAE

∵∠BDC＝60

∴∠DEA＝DAE＝30

∵CE⊥BD，∠BDC=60

∴∠DCE＝30

∴∠DCE＝∠DAE＝30

∴AE＝CE

∵∠BAC＝45

∴∠EAB＝∠BAC-∠DAE＝45-30＝15

∵∠BDC＝∠DBA+∠BAC

∴∠DBA＝∠DBC-∠BAC＝60-45＝15

∴∠EAB＝∠DBA

∴BE＝AE

∴AE＝BE＝CE

2.∵CE⊥BD，∠BDC=60°

∴∠ACE=30°,∠ADE=120°

∵DE=DA

∴∠DAE=∠DEA=30°

∴∠DAE=∠DEA=∠ACE

∴△AEC∽△ADE (三个角相等）

(由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；

根据有两角对应相等的或春三角形相似，易证△AED∽△ACE)

3.第一种，如图，延长ED.过点A做ED的垂线。交ED与F点

∵CE⊥BD

∴∠CED=90°

又∵AF⊥BD

∴衫扰耐∠AFD=90°

∴AF‖CE

∴△AFD∽△CED

∵CD=2DA

∴CE=2AF

∴CE×BE=2AF×BE

∴(CE×BE)÷2=2(AF×BE)÷2

∴△BEC和△BEA的面积比为2：1

第二种，3）过A点作AF⊥BD交BD的延长线于F点，则

RT△AFD≈RT△CED

CE/AF=CD/AD=2

S△BEC/S△BEA=(BE*CE)/(BE*AF)=CE/AF=2

过程不一样，一个李举长一个短，自己挑吧

Answer 2

解图中相等的线段有DE＝AD， AE＝BE＝CE
证明：取CD中点F，连接EF
∵CE⊥BD，F为CD中点
∴CF＝DF＝EF
∴∠FED＝∠FDE
∵∠BDC=60
∴∠FED＝60
∴等边△FED
∴ED＝DF
∵CD＝2AD
∴AD＝DF
∴AD＝DE
∴∠DEA＝∠DAE
∵∠BDC＝60
∴∠DEA＝DAE＝30
∵CE⊥BD，∠BDC=60
∴∠DCE＝30
∴∠DCE＝∠DAE＝30
∴AE＝CE
∵∠BAC＝45
∴∠EAB＝禅森伏∠BAC-∠DAE＝春郑45-30＝15
∵∠BDC＝∠DBA+∠BAC
∴∠DBA＝∠DBC-∠BAC＝60-45＝15
∴∠EAB＝∠DBA
∴BE＝AE
∴AE＝BE＝CE

2.∵CE⊥BD，∠BDC=60°
∴∠ACE=30°,∠ADE=120°
∵DE=DA
∴∠DAE=∠DEA=30°
∴∠DAE=∠DEA=∠ACE
∴△AEC∽△ADE (三个角相等）
(由（1）可求得∠EAD=∠DEA=30°，又由∠BAD=45°，即可得∠EAB的度数，然后由∠BDC=∠DBA+∠BAD，求得∠DBA的度数，即可证得∠EAB=∠EBA；
根据有两角对应相等的三角形相似，易证△AED∽△ACE)
3.第一种，如图，延长ED.过点A做ED的垂线。交ED与F点
∵CE⊥BD
∴∠CED=90°
又∵AF⊥BD
∴∠AFD=90°
∴AF‖CE
∴△AFD∽△CED

∵CD=2DA
∴CE=2AF
∴CE×BE=2AF×BE
∴(CE×BE)÷2=2(AF×BE)÷2
∴△BEC和△BEA的面积比为2：1
第二种，3）过A点作AF⊥BD交BD的延长线于F点，则
RT△AFD≈RT△CED
CE/AF=CD/AD=2
S△BEC/S△贺携BEA=(BE*CE)/(BE*AF)=CE/AF=2
你懂的