Question

（2012?曲阜市模拟）已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．（1）求证：A

（2012?曲阜市模拟）已知：如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连接AB．（1）求证：AB2=AE?AD；（2）过点D作⊙O的切线，与BC的延长线交于点F，若AE=2，ED=4，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵点A是劣弧BC的中点，
∴∠ABC=∠ADB．（1分）
又∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABE∽△ADB．（2分）
∴

AB

AE

＝

AD

AB

．
∴AB²=AE?AD．（3分）

（2）解：∵AE=2，ED=4，
∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AE

＝

AD

AB

，
∴AB²=AE?AD，
∴AB²=AE?AD=AE（AE+ED）=2×6=12．
∴AB=2

3

（舍负）．（4分）
∵BD为⊙O的直径，
∴∠A=90°．
又∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥BD．
∴∠BDF=90°．
在Rt△ABD中，tan∠ADB=

AB

AD

＝

2 3

6

＝

3

3

，
∴∠ADB=30°．
∴∠ABC=∠ADB=30°．
∴∠DEF=∠AEB=60°，∠EDF=∠BDF-∠ADB=90°-30°=60°．
∴∠F=180°-∠DEF-∠EDF=60°．
∴△DEF是等边三角形．
∴EF=DE=4．（5分）