Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）。。。，
与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等．直线y=3x-7与这条抛物线
相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M．
1.求这条抛物线的解析式
2.P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q。若点P在线段BM上运动（点P不与点B,M重合），设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S。求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围
3.在线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．

（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
当x=t时，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=12×（3+6-2t）×t+12×3
即：S四边形PQAC=-t2+92t+32（1＜t＜3）．

（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
∴m1=75，m2=1（舍去）．
∴N（75，-165）．
②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
∴m=1±105．
∵1＜m＜3，
∴m=1-105舍去．
∴N（1+105，2105-4）．
③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假设成立．
综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N175，165），N2（1+105，2105-4），N3（2，-2）．

Answer 2

大概说一下思路，当x=0和x=2时，y的值相等，故对称轴为x=1，又已知可列出下列等式：
c=4a+2b+c
16a+4b+c=12-7
a+b+c=3-7（将对称轴x=1带入）
联解的a=1，b=-2，c=-3 第一问已解决
（2）先画出图像，延长BM叫y轴与点N，由相似三角形知三角形BQP相似与三角形BON，由两点式可写出直线BM的方程，令X=0，可得y轴的截距，即是ON的长，这样由相似可写出比例，QP/ON=QB/BO,可得QP的长，S=1/2OA乘OC+1/2（QP+OC)t，这个式子里只有t未知，其他的数量都可以求解出来，至于t的范围，可取零界点B和M，1<t<3