Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，且∠DAB=60°，AB=2，E为AD的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求点E到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）连接PE、EB、BD，
∵△PAD为等边三角形，E为AD的中点，∴PE⊥AD…（2分）
∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，E为AD的中点，
∴BE⊥AD…（4分）
∵PE∩BE=E，∴AD⊥平面PBE，
∵PB?平面PBE，∴AD⊥PB…（6分）
（2）过E作EF⊥PB于F
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，PE⊥AD
∴PE⊥平面ABCD，
∵BC?平面ABCD，∴PE⊥BC
∵菱形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD，∴BE⊥BC
∵PE、BE是平面PBE内的相交直线，∴BC⊥平面PBE
∵EF?平面PBE，∴BC⊥EF，
∵EF⊥PB且PB∩BC=B，∴EF⊥平面PBC，得EF长就是点E到平面PBC的距离
∵△ADB、△ADP是边长为2的等边三角形，
∴Rt△PEB中，PE=BE=

3

2

AD=

3

，得PB=

2

BE=

6

由此可得：EF＝

PE?EB

PB

＝

6

2

，即点E到平面PBC的距离等于

6

2

．…（12分）