Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=6√3,E

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6,BD=6√3,E是PB上任意一点，当△AEC面积最小值是9时，求证:EC⊥平面PAB.

Answer 1

设AC/BD相交于点O。若使△AEC面积最小，则OE⊥PB
因为PD⊥平面ABCD，AC属于平面ABCD，又平面ABCD为菱形，BD与PD相交，易证AC⊥平面PBD。
又OE属于平面PBD，所以AC⊥OE，此时有△AEC=1/2ACxOE=9，代入AC=6，得OE=3。
在垂直△OCE中，因为OC=3，OE=3，CE^2=OC^2+OE^2，解得CE=3根号2.
在垂直△OBE中，因为OE=3，OB=1/2BD=3√3，则BE^2=OB^2-OE^2，解得BE=3根号2。
在垂直△OBC中，BC^2=OB^2+OC^2，解得BC=6。
因为BC^2=BE^2+CE^2，所以BE⊥CE。
因为OE=OC=3，所以角OEC=45度，同理，角OEA=45度，所以角AEC=90度，所以CE⊥AE。
因为AE与BE相交，AE、BE属于平面PAB，即EC⊥平面PAB得证。