Question

∠B=∠C=90°,M上BC是中点,且∠AMD=90°,DM平分∠ADC.求证AD=DC+AB

Answer 1

【证法1：不用DM平分∠ADC】

延长DC交AM延长线于E。

∵M是BC的中点

∴BM=CM

又∵∠B=∠MCE=90°

       ∠AMB=∠EMC

∴△ABM≌△ECM（ASA）

∴AB=CE，AM=EM

∵∠AMD=90°

∴DM垂直平分AE

∴AD=ED=DC+CE=DC+AB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）

【证法2：不用∠AMD=90°】

作MF⊥AD于F。

则∠DFM=∠C=90°

又∵∠FDM=∠CDM，DM=DM

∴△DFM≌△DCM（AAS）

∴DF=DC，FM=CM

∵BM=CM

∴BM=FM

又∵∠B=∠AFM=90°，AM=AM

∴Rt△ABM≌Rt△AFM（HL）

∴AB=AF

∴AD=DF+AF=DC+AB

【证法3：不用M是BC的中点】【图同上】

作MF⊥AD于F。

则∠DFM=∠C=90°

又∵∠FDM=∠CDM，DM=DM

∴△DFM≌△DCM（AAS）

∴DF=DC，∠DMF=∠DMC

∵∠AMD=90°

∴∠DMF+∠AMF=∠AMD=90°

    ∠DMC+∠AMB=180°-∠AMD=90°

∴∠AMF=∠AMB

又∵∠AFM=∠ABM=90°，AM=AM

∴△AFM≌△ABM（AAS）

∴AB=AF

∴AD=DF+AF=DC+AB