Question

已知函数f（x）=ax 3 -3x 2 +1- 。（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）

已知函数f（x）=ax 3 -3x 2 +1- 。（1）讨论函数f（x）的单调性； （2）在a＞0的情况下，若曲线y=f（x）上两点A，B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1） 令 得 （i）当 时， 若 ，则 所以f（x）在区间 上是增函数 若 ，则 所以f（x）在区间 是减函数 若 ，则 所以函数f（x）在区间 上是增函数 （ii）当 时， 若 ，则 所以f（x）在区间 上是减函数 若 ，则 所以f（x）在区间 是增函数 若 ，则 所以f（x）在区间 上是减函数。 （2）由（1）中（i）的讨论及题设知 曲线 上的两点 的纵坐标为函数的极值，且函数 在 处分别是取得极大值和极小值 ， 因为线段AB与x轴有公共点， 所以 并且两等号不能同时成立 即 并且两等号不能同时成立 由已知 故 解得 即所求实数a的取值范围是 。