Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，2）．直线l过点F且交椭圆C于A、B

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点P（2，2）．直线l过点F且交椭圆C于A、B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M（12，0），求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得，

a2?b2＝4 4 a2 + 2 b2 ＝1

，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

＝1；
（Ⅱ）当直线l斜率不存在时，不符合题意，
当斜率存在时设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 ＝1 y＝k(x?2)

得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-8=0，
因为△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-8）=32（k²+1）＞0，
所以x1+x2＝

8k2

1+2k2

，
所以x0＝

x1+x2

2

＝

4k2

1+2k2

，y0＝k(x0?2)＝

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