四边形ABCD正方形,M为BC上任意一点,MN⊥AM且MN交∠ECD的平分线于N。求证AM=MN
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证明:连接AC,AN ∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度 ∴∠DCN=∠ECN=45度 又AC是正方形ABCD的对角线 从而∠ACD=45度 ∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度 又 MN⊥AM 从而∠AMN=90度 ∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两 顶角为直角,即这四个点共圆) 得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角) ∴△AMN为等腰直角三角形 ∴AM=MN 追问 这是初一的学生,你说的四点共圆还没学过?只学了三角形全等。有其它的解法吗?谢谢! 回答 证明:连接AC 设AC与MN相交于G点 过M点作MF//AC 则 ∠BFM=∠BAC=45度 又 CN是∠ECD的平分线 从而 ∠ECN=45度 ∵△ABC是等腰直角三角形 ∴△FBM也是等腰直角三角形 从而 BF=BM 又 AF=AB-BF,MC=BC-BM 而 AB=BC ∴AF=MC ① ∵∠FAM=∠FBAC=90度-∠AMB,∠CMN=180度-∠AMN-∠AMB=180度-90度-∠AMB=90度-∠AMB ∴∠FAM=∠CMN ② 又 ∠BFM=45度=∠FAM+∠AMF,∠ECN=45度=∠CMN+∠MNC 则 ∠AMF=45度-∠FAM, ∠MNC=45度-∠CMN 又 ∠FAM=∠CMN ∴∠AMF=∠MNC ③ 由①②③得 △AFM≌△MNC(角,角,边) ∴AM=MN(全等三角形对应边相等).
参考资料: ZHE
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证明:连接AC,AN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN
∵CN平分∠ECD,∠ECD=90度
∴∠DCN=∠ECN=45度
又AC是正方形ABCD的对角线
从而∠ACD=45度
∴∠ACN=∠ACD+∠DCN=45度+45度=90度
又 MN⊥AM
从而∠AMN=90度
∴A,M,C,N四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其两
顶角为直角,即这四个点共圆)
得到 ∠MAN=∠ECN=45°(圆内接四边形外角等于内对角)
∴△AMN为等腰直角三角形
∴AM=MN
追问
这是初一的学生,你说的四点共圆还没学过?只学了三角形全等。有其它的解法吗?谢谢!
追答
证明:连接AC
设AC与MN相交于G点
过M点作MF//AC
则 ∠BFM=∠BAC=45度
又 CN是∠ECD的平分线
从而 ∠ECN=45度
∵△ABC是等腰直角三角形
∴△FBM也是等腰直角三角形
从而 BF=BM
又 AF=AB-BF,MC=BC-BM
而 AB=BC
∴AF=MC ①
∵∠FAM=∠FBAC=90度-∠AMB,∠CMN=180度-∠AMN-∠AMB=180度-90度-∠AMB=90度-∠AMB
∴∠FAM=∠CMN ②
又 ∠BFM=45度=∠FAM+∠AMF,∠ECN=45度=∠CMN+∠MNC
则 ∠AMF=45度-∠FAM, ∠MNC=45度-∠CMN
又 ∠FAM=∠CMN
∴∠AMF=∠MNC ③
由①②③得 △AFM≌△MNC(角,角,边)
∴AM=MN(全等三角形对应边相等)
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