Question

若a、b∈R，有下列不等式：①a 2 +3＞2a；②a 2 +b 2 ≥2（a-b-1）；③a 5 +b 5 ＞a 3 b 2 +a 2 b 3 ；④

若a、b∈R，有下列不等式：①a 2 +3＞2a；②a 2 +b 2 ≥2（a-b-1）；③a 5 +b 5 ＞a 3 b 2 +a 2 b 3 ；④a+ 1 a ≥2．其中一定成立的是______．

Answer 1

①a 2 +3-2a=（a-1） 2 +2＞0， ∴a 2 +3＞2a； ②a 2 +b 2 -2a+2b+2=（a-1） 2 +（b+1） 2 ≥0， ∴a 2 +b 2 ≥2（a-b-1）； ③a 5 +b 5 -a 3 b 2 -a 2 b 3 =a 3 （a 2 -b 2 ）+b 3 （b 2 -a 2 ） =（a 2 -b 2 ）（a 3 -b 3 ）=（a+b）（a-b） 2 （a 2 +ab+b 2 ）． ∵（a-b） 2 ≥0，a 2 +ab+b 2 ≥0，但a+b符号不确定， ∴a 5 +b 5 ＞a 3 b 2 +a 2 b 3 不正确； ④a∈R时，a+ 1 a ≥2不正确． 故答案为：①②．