Question

已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），（1）如果点P是弧BC的中点，求证：P

已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA；（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO=∠ACB，∠APC=∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠BPO=∠APC=60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB=PC=OP=OA，
∴PB+PC=PA；

（2）（1）的结论还成立．理由如下：
截取PE=PC，
∵∠APC=60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE=CP，∠PCE=60°，
而∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠BCP，
而CA=CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE=PB，
∴PB+PC=PA．