Question

已知函数f(x)=ax^2+bx-lnx(a,b€R),其图像在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，当a<...

已知函数f(x)=ax^2+bx-lnx(a,b€R),其图像在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性

Answer 1

由题意知，f(x)定义域是(0,+∞)
f'(x)=2ax+b-1/x
f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，则

f'(1)=0
即2a+b-1=0，也即b=1-2a
则f'(x)=2ax+b-1/x = 2ax+1-2a-1/x
=(2ax²+(1-2a)x-1)/x

当a=0时，f'(x)=(x-1)/x
令f'(x)≥0,结合f(x)的定义域，解得x≥1，即此时f(x)单调增区间是[1,+∞)
令f'(x)≤0,结合f(x)的定义域，解得0<x≤1，即此时f(x)单调减区间是(0,1]

当a≠0时，f'(x)=(2ax²+(1-2a)x-1)/x=(2ax+1)(x-1)/x = 2a(x-(-1/2a))(x-1)/x，其中x>0(根据f(x)定义域)

当-1/2a=1，即a=-1/2时，f'(x)=-(x-1)²/x≤0
即此时f(x)单调减。

当-1/2a>1 且a>0时，显然条件矛盾，因此不需考虑此情况。

当-1/2a>1 且a<0时，即-1/2<a<0时，
令f'(x)≥0，解得1≤x≤-1/2a，即此时f(x)单调增区间是[1,-1/2a]
令f'(x)≤0，解得x≥-1/2a或者0<x≤1，即此时f(x)单调减区间是(0,1]∪[-1/2a,+∞)

当-1/2a<1 且a<0时，即a<-1/2时，
令f'(x)≥0，解得-1/2a≤x≤1，即此时f(x)单调增区间是[-1/2a,1]
令f'(x)≤0，解得x≥1或者0<x≤-1/2a，即此时f(x)单调减区间是(0,-1/2a]∪[1,+∞)

当-1/2a<1 且a>0时，即a>0时，
令f'(x)≥0，解得x≥1，即此时f(x)单调增区间是[1,+∞)
令f'(x)≤0，解得0<x≤1，即此时f(x)单调减区间是(0,1]