Question

已知函数f(x)=alnx+bx^2图像上点P(1,f(1))处的切线方程为2x-y-3=0.

(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)函数g(x)=f(x)+m-ln4,若方程g(x)=0在[1/e,2]上恰有两解，求实数m的取值范围 只要第二问详解！

Answer 1

您好！
根据题意，此题可以求解如下：
①由f(x)=alnx+bx²在P点（1，f(1))处的切线方程为2x-y-3=0;
f(1)=aln1+b1²=ax0+b=b;
又f'（x）=a/x+2bx,则过点P处的切线斜率k=a+2b
过P点的切向方程可列些如下y-b=k(x-1);
y-b=(a+2b)(x-1)********
(a+2b)x-y-(a+b)=0

* * * *
2x -y -3=0;可得

a+2b=2；
a+b=3;****************************************a=4,b=-1
综上可知，f(x)=4lnx-x²;
②由①可知f(x)=4lnx-x²，g(x)=f(x)+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4=0

m=x²+ln4-4lnx;
令q(x)=x²+ln4-4lnx,则q'(x)=2x-4/x,令q'(x)=0,也即2x-4/x=0,求解可得x=±√2
又f(x)的定义域为x＞0，则x=-√2【舍去】
q‘(x)在x∈（0，√2）上小于零，故q(x）在x∈（0，√2）上单调递减，且在x=√2时取得最小，在
x∈[√2,∞)上单调递增，要使m=x²+ln4-4lnx有两个解，m只需大于最小值，小于适当的大值即可
q(1/e)=(1/e)²+ln4-4ln(1/e)=(1/e)²+ln4+4;
q(√2)=(√2)²+ln4-4ln(√2)=2****************************************最小值
q(2）=2²+ln4-4ln2=4-2ln2
q(1/e)=(1/e)²+ln4-4ln(1/e)=(1/e)²+ln4+4=4+2ln2+(1/e)²＞q(2)*************最大值

综上可知，m的取值范围为（2，4-2ln2]

希望对您有帮助，祝学业有成！
如有疑问，可继续追问！
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谢谢！

Answer 2

(2) f (x)=4lnx-x^2
g(x)=4lnx-x^2+m-ln4=0;即x^2-4lnx=m+ln4
令h(x)=x^2-4lnx,h'(x)=2x-4/x.h(x)>0,即x>根号2.
h(根号2)=2（1-ln2）<0,h(1/e)=4+1/e^2>0,h(2)=4(1-ln2)>0
故2(1-ln2)<m-ln4<4(1-ln2),解得2<m<4-2ln2。
解题思路就是这样，匆忙之中解得，望认真检算！

Answer 3

（I）求导函数可得f′(x)=ax+2bx（x＞0）
∵函数f（x）=alnx+bx2图象上点P（1，f（1））处的切线方程为2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴a+2b=2b=-1
∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x2；
（II）函数g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x2+m-ln4（x＞0），则g′(x)=4x-2x（x＞0）
∴当x∈[1e，2)时，g′（x）＞0；当x∈(2，2]时，g′（x）＜0；
∴函数在[1e，2)上单调增，在(2，2]上单调减
∵方程g（x）=0在[1e，2]上恰有两解，
∴g(1e)≤0，g(2)＞0，g(2)≤0
∴-4-1e2+m-ln4≤0-2+m＞04ln2-4+m-ln4≤0
解得2＜m≤4-2ln2
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